Philosophie de la logique et logique mathématiques

Responsable : J.-P. Narboux

Introduction à la philosophie de la logique: la révolution frégéenne (CM)

Le philosophe allemand Gottlob Frege est généralement considéré comme le fondateur de la logique moderne et comme le père de la philosophie dite "analytique". Le cours examine les motifs et les conséquences de la critique radicale par Frege de la manière dont les rapports entre concept, jugement, et raisonnement ont été conçus par la tradition philosophique, d'Aristote à Boole et à Husserl en passant par Kant. Kant considérait la logique "close et achevée". Aux yeux de Frege, Kant a opposé la fécondité des propositions arithmétiques à la stérilité des propositions logiques et soutenu que la logique était formelle (au sens de vide de contenu) faute d'avoir su déceler l'influence pernicieuse que la syntaxe des langues naturelles (en un mot, la grammaire) a toujours exercé sur la logique (et partant sur l'ontologie). Ce faisant, Kant a pris les limitations de la conception traditionnelle de la logique pour des limitations de la logique elle-même et sous-estimé l'expressivité de cette dernière. Frege impute au "psychologisme" la confusion entre grammaire et logique qui a conduit à décomposer tout jugement en un sujet et un prédicat. A la décomposition en sujet et prédicat, il substitue la décomposition en argument et fonction. On analysera les motifs et la portée philosophiques de ce geste, qui devait altérer le cours de l'histoire de la logique.

Introduction à la logique mathématique (TD)

Dans la « logique mathématique » issue de la percée frégéenne se rencontrent pour la première fois « deux histoires parallèles : celle du raisonnement logique qui, parti de la rigueur, a gagné peu à peu en expressivité, et celle du raisonnement mathématique qui, parti de l’expressivité, a gagné peu à peu en rigueur » (Dowek, La logique, p.24). Le TD introduit au concept de système logique formel au sens contemporain. L’approche adoptée est semi-formelle. Après avoir distingué les aspects syntaxique et sémantique d’un système logique formel, on procédera à une étude formelle élémentaire des deux systèmes formels fondamentaux que sont la logique booléenne (aussi dite « calcul propositionnel ») et la logique du premier ordre (aussi dite « calcul des prédicats »). En marge de cette étude formelle, on exposera les propriétés globales de ces deux systèmes sur un mode informel et comparatif, en s’arrêtant plus particulièrement sur la signification des résultats d’impossibilité traduisant des limitations intrinsèques de la logique du premier ordre (théorème d’indécidabilité de Church-Turing,  théorèmes d’incomplétude de Gödel). On donnera une présentation informelle de la notion centrale de calculabilité et on montrera que ces résultats mettent directement en jeu l’infini et la négation. On en tirera quelques leçons générales sur les rapports entre raisonnement, preuve, et calcul.

Bibliographie CM

Frege, Gottlob. L'idéographie. Paris, Vrin.

Frege, Gottlob. Les fondements de l'arithmétique, Paris, Seuil.

Frege, Gottlob. Écrits logiques et philosophiques, Paris, Seuil.

Pour aller plus loin

Kenny, Anthony. Frege: an Introduction to the founder of modern analytic philosophy. Londres, Penguin Books, 1995.

Narboux, J.-Ph. "Frege's Logical Investigations: a Neglected Chapter in the History of Analytic Philosophy", in Narboux J.-Ph. & Perrin Denis (éds), New Essays on Frege's Logical Investigations, Editora Nonada, 2021.

Textor, Mark. Routledge Philosophy Guidebook to Frege on Sense and Reference. Londres, Routledge, 2011.

Travis, Charles. Frege: the Pure Business of Being True. Oxford, Oxford University Press, 2021.

Weiner, Joan. Frege explained: from Arithmetic to Analytic Philosophy. Chicago & La Salle, Open Court, 2004.

Bibliographie TD

Lectures de base

- Partie formelle:

Goldfarb, Warren. Deductive Logic. Indianapolis, Hackett Publishing Company, 2003.

Quine, W.V.O. Logique élémentaire. Réédition Paris, Vrin, 2006.

Quine, W.V.O. Méthodes de logique. Paris, Armand Colin, 1973.

- Partie informelle :

Dowek, Gilles. La logique, Paris, Le Pommier, 2021.

Pour aller (un peu) plus loin

- Partie formelle :

Van Dalen, Dirk. Logic and Structure, cinquième édition. Berlin, Springer, 2013.

MacFarlane, John. Philosophical Logic: a Contemporary Introduction. Londres, Routledge, 2021.

Nagel & Newman. Le théorème de Gödel. Paris, Seuil, 1989.

- Partie informelle :

Dowek, Gilles. Ce dont on ne peut parler, il faut l’écrire : langues et langages. Paris, Le Pommier, 2019.

Dowek, Gilles. Les métamorphoses du calcul. Paris, Le Pommier, 2017.

Quine, W.V.O. Philosophie de la logique. Paris, Aubier, 1992.

Pour aller (beaucoup) plus loin

- Partie formelle :

Cori, R. & Lascar D. Logique mathématique, Volumes 1 & 2, Paris, Dunod, 2003.

David, R. & alii. Les démonstrations mathématiques. Paris, Ellipses, 2017.

Dehornoy, Patrick. La théorie des ensembles : Introduction à une théorie de l’infini et des grands cardinaux (Partie B : « Un peu de logique mathématique »). Paris, Calvage & Mounet, 2017.

Stillwell, John. Roads to Infinity: the Mathematics of Truth and Proof. Boca Raton, Taylor and Francis Group, 2010.

- Partie informelle :

Girard, Jean-Yves. Le fantôme de la transparence. Paris, Allia, 2016.

Imbert, Claude. Pour une histoire de la logique. Paris, PUF, 1999.